导演: Jos Leys Étienne Ghys Aurélien Alvarez
类型: 纪录片
制片国家/地区: 法国
上映日期: 2008
集数: 9 单集片长: 15分钟 IMDb: tt8309356 豆瓣评分:9.2 下载地址:迅雷下载
今天又琢磨了一下片中讲到的复数,引入的方式让我一个文科生觉得非常神奇。 如果x·(-1)相当于数轴上的一个点以原点为中心旋转180°,从正半轴落到负半轴,再乘一次,就转回初始位置。 那么,把x·(√-1)理解为以原点为中心旋转90°,从横轴落到纵轴上; 再乘一次,再转90°,相当于x·(√-1)^2=x·(-1),也就是转了180°,又回到横轴。 然后定义纵轴上正负方向的两个交点为(0,i)和(0,-i)。 自然数是一维的,因为只要一个数(轴)就能描述它,把它放在线上就可以理解。 复数是二维的,因为要两个数(轴)的坐标才能描述它,要把它放在一个面上才能理解。 因为是一组数,所以叫复数。
那么,本来看上去没有意义的√-1是怎么变得有意义的? 通过拓展维度。一种不存在、不成立的东西,就是在原来的结构下无法得到定义的东西,那么拓展这个结构,给它增加一个向度,就有地方放下这个东西了。 不可理喻、不可思议的东西,可能都是在某个给定的结构中无处安放的东西。它是该结构片面性的指示。所以数学是不是要不断力图往那些“按其定义不存在……”的方向拓宽、让它们可以存在?在这个过程中,结构会不断丰富,它能“解释”(即结构化)的现象也就越来越多。
既然一个复数其实是两个数,是二维的,用一对复数的坐标系就可以表示四维。 一个在旧结构里“不可能”的点,被打造成一个崭新结构的基石,用来理解(结构化)超出我们直观能力的神秘。
从拓扑和几何的角度理解曲率和连通性之间的关系,可以从以下几个方面进行探讨:
在几何学中,曲率是描述几何对象(如曲线、曲面等)弯曲程度的一个量。曲率可以分为多种类型:
在拓扑学中,连通性描述一个空间的整体结构,主要有以下几种连通性:
在某些特定情况下,曲率和连通性之间存在一定的关系,以下是一些例子:
高斯-博内定理是连接曲率和拓扑性质的一个经典定理。对于一个紧致的二维黎曼曲面(如球面或环面),其高斯曲率的积分与其欧拉示性数(描述曲面的拓扑性质)之间存在如下关系:
∫MKdA=2πχ(M)其中,K 是高斯曲率,χ(M) 是曲面的欧拉示性数。
在负曲率的情况下(如双曲几何),空间通常具有更复杂的连通性结构。例如,在负曲率的空间中,基本群通常是非平凡的,这意味着空间中存在许多不同的路径类别,不能简单地变形为一个点。
正曲率空间(如球面)的单连通性往往比较简单。例如,正曲率的二维球面是单连通的,即其基本群是平凡群。
通过以上例子可以看出,曲率在一定程度上影响了空间的连通性和拓扑性质,但这种关系并不是绝对的,而是通过特定的几何和拓扑定理联系在一起的。